Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 дает остаток 1.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Задачи повышенной трудности. Номер №1210

Пусть:
n − первое число, значит:
n + 1 − второе число.
Тогда по условию:

(n + 1)^{3} - n^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n^{3} = 3 n^{2} + 3 n + 1 = 3 (n^{2} + n) + 1

Если n − четное, то значение выражения

n^{2} + n

− четное, так как сумма двух четных чисел − число четное.
Если n − нечетное, то значение выражения

n^{2} + n

− четное, так как сумма двух нечетных чисел − число четное.
Так как значение выражения

n^{2} + n

− четное, а значит делится на 2, то значение выражения

3 (n^{2} + n)

кратно 6.
Соответственно

(n + 1)^{3} - n^{3} = 3 (n^{2} + n) + 1

при делении на 6 дает остаток 1.

ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова